线代 A1 笔记 第 7 部分（矩阵乘积的秩与行列式）

矩阵乘积的秩

定理：设 $A_{s\times n}$，$B_{n\times m}$，则

1. $\operatorname{rank}(AB)\le \min\left\{ \operatorname{rank}(A),\operatorname{rank}(B) \right\}$

   证明应该是容易的，按照一开始提到的，$AB$ 的列是由 $A$ 的列表出的，故 $AB$ 的列秩 $\le \operatorname{rank}(A)$；同理，$AB$ 的行是由 $B$ 的行表出的，所以 $AB$ 的行秩 $\le \operatorname{rank}(B)$。

2. 若 $AB=0$，则 $\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)\le n$

3. $\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)\le n + \operatorname{rank}(AB)$
   来一起证明 $2$ 和 $3$。记 $B = \begin{bmatrix} \beta_1 & \cdots & \beta_m \\\end{bmatrix}$，则 $AB = \begin{bmatrix} A\beta_1 & \cdots & A\beta_m \\\end{bmatrix}$，设 $\operatorname{rank}(AB)=r$，WLOG 设 $A\beta_1, \cdots ,A\beta_r$ 为 $AB$ 的列极大无关组，于是 $A\beta_{r+1},\cdots,A\beta_s$ 可以由 $A\beta_1, \cdots ,A\beta_r$ 线性表出：

   $$A\beta_{r+i} = c_{i1}A\beta_1 + c_{i2}A\beta_2 + \cdots + c_{ir}A\beta_r\quad 1\le i\le s - r$$

   令 $\beta_{r+i}' = \beta_{r+i} - \displaystyle \sum_{j=1}^r c_{ij}\beta_j$，则显然 $A\beta'_{r+i} = 0$，对于所有 $1\le i\le s - r$。所以自然 $\beta_{r+1}', \cdots ,\beta_s'\in AX=\boldsymbol{0}$ 的解空间，所以 $\operatorname{rank}\left\{ \beta_{r+1}', \cdots ,\beta_s' \right\}\le n - \operatorname{rank}(A)$，于是

   $$\begin{aligned} \operatorname{rank}(B) &= \operatorname{rank}\left\{ \beta_1, \cdots ,\beta_r, \cdots ,\beta_{r+1}, \cdots ,\beta_s \right\}\\ &= \operatorname{rank}\left\{ \beta_1, \cdots ,\beta_r, \cdots \beta_{r+1}', \cdots ,\beta_s' \right\} \\ &\le \operatorname{rank}\left\{ \beta_1, \cdots ,\beta_r \right\} + \operatorname{rank}\left\{ \beta_{r+1}', \cdots ,\beta_s' \right\}\\ &\le r + n - \operatorname{rank}(A) \end{aligned}$$

   证毕。

   注意在这个证明过程中，满足条件 $A\eta = \boldsymbol{0}$ 的向量 $\eta$ 在 $AX=\boldsymbol{0}$ 的解空间内是很重要的思路。很多时候利用这个性质可以列 $\operatorname{dim} W\le n - \operatorname{rank}(A)$ 来解决问题。

4. 根据 3 给出的重要不等式，可以得出如下推论：

   • 左乘列满秩的矩阵，矩阵的秩不变；
   • 右乘行满秩的矩阵，矩阵的秩不变；
   • 左乘/右乘满秩矩阵，矩阵的秩不变。

实矩阵的一个重要性质

在继续之前，我们先引出一条重要的引理：若实向量 $\alpha$ 满足 $\alpha^T\alpha = 0$，则 $\alpha = 0$。证明：$\alpha^T\alpha= \alpha\cdot \alpha = a_1^2 + a_2^{2} + \cdots + a_n^{2}\ge 0$，等号成立当且仅当 $\alpha = 0$。

定理：若 $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$，则

1. $\mathcal{N}(A^TA)= \mathcal{N}(A)$，其中 $\mathcal{N}(A)$ 表示齐次线性方程组 $AX=\boldsymbol{0}$ 的解空间。
   证明：显然 $\forall \eta\in \mathcal{N}(A)$ 有 $\eta \in \mathcal{N}(A^TA)$（因为若 $A\eta = \boldsymbol{0}$ 必有 $A^TA\eta=\boldsymbol{0}$），所以 $\mathcal{N}(A) \subseteq \mathcal{N}(A^TA)$，接下来证明 $\mathcal{N}(A^TA) \subseteq \mathcal{N}(A)$ 即可。
   考虑 $\forall \eta\in \mathcal{N}(A^TA)$，有 $A^TA\eta = \boldsymbol{0}$，左乘一个 $\eta^T$，$\eta^TA^TA\eta = \boldsymbol{0}$，这即 $(A\eta)^TA\eta = \boldsymbol{0}$，根据引理，$A\eta = \boldsymbol{0}$，所以 $\mathcal{N}(A^TA) \subseteq \mathcal{N}(A)$，证毕。
2. $\operatorname{rank}(A^TA) = \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(AA^T)$；
   证明：$\mathcal{N}(A^TA) = \mathcal{N}(A) \implies\operatorname{dim}\mathcal{N}(A^TA) = \operatorname{dim}\mathcal{N}(A)\implies \operatorname{rank}(A^TA) = \operatorname{rank}(A)$，又 $\operatorname{rank}(A A^T) = \operatorname{rank}((A^T)^T(A^T)) = \operatorname{rank}(A^T)=\operatorname{rank}(A)$，证毕。
3. $\mathcal{C}(A) = \mathcal{C}(AA^T)$，其中 $\mathcal{C}(A)$ 表示 $A$ 的列空间。
   证明：我们知道 $A A^T$ 的列都是由 $A$ 的列表出的，所以 $\mathcal{C}(AA^T) \subseteq \mathcal{C}(A)$，又由上我们知道 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(AA^T)$，根据秩与基底相关的概念，$\operatorname{dim} \mathcal{C}(A) = \operatorname{dim} \mathcal{C}(AA^T)$，所以 $\mathcal{C}(A) = \mathcal{C}(A A^T)$。

矩阵乘积的行列式

我们通过 PJ 分解相关理论，可以知道满秩方阵都能分解成初等矩阵的乘积。（满秩阵的 rref 为单位阵）

随后我们证明一个引理：对于初等矩阵 $P$ 有 $|PB|=|P||B|$。分别考虑三种初等变换对行列式的影响即可，这里不写具体证明了。

定理：方阵积的行列式等于方阵行列式的积，即 $|AB|=|A||B|$。

证明：若 $A$ 不满秩，则 $|A|=0$ 且 $\operatorname{rank}(AB)\le \operatorname{rank}(A)<n$，$|AB|=0$，成立。

若 $A$ 满秩。则 $A$ 一定能拆成 $P_1P_2\cdots P_s$ 的形式，所以 $|AB| = |P_1P_2\cdots P_s B| = |P_1||P_2\cdots P_sB| = |P_1||P_2|\cdots|P_s||B|$，由 $|A| = |P_1|\cdots|P_s|$，证毕。