线代 A1 笔记 第 6 部分（矩阵运算初步）

矩阵乘法与转置

定义略。

有一个很重要的想法：

• 一列一列乘：$AB$ 的列可以看作 $A$ 的列的线性表出，表出系数在 $B$ 的对应列中，即

  $$(\alpha_1, \cdots ,\alpha_n)\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1m} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2m} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \\\end{bmatrix} = \left( \sum_{j=1}^n\alpha_jb_{j1},\sum_{j=1}^n\alpha_jb_{j2}, \cdots ,\sum_{j=1}^n\alpha_j b_{jm} \right)$$

• 一行一行乘：$AB$ 的行可以看作 $B$ 的行的线性表出，表出系数在 $A$ 的对应行中，即

  $$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n m} \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \gamma_1 \\ \gamma_2 \\ \vdots \\ \gamma_m \\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^ma_{1i}\gamma_i \\ \sum_{i=1}^m a_{2i}\gamma_i \\ \vdots \\ \sum_{i=1}^ma_{ni}\gamma_i \\\end{bmatrix}$$

若 $AB = 0$，不能推出 $A=0$ 或 $B=0$。一般地对于矩阵 $A$，若 $\exists B\ne 0$ s. t. $AB=0$，则称 $A$ 为一个左零因子，右零因子的定义类似，略。

矩阵乘法不适合消去律，若 $AC = BC$ 且 $C\ne 0$ 不能推出 $A=B$。

定义 $kI$ 为数量矩阵，显然其关于加法、数乘、乘法均封闭。

若 $AB=BA$ 则称 $A$ 与 $B$ 可交换。

• 数量矩阵和任意同级矩阵可交换。可以证明若 $A$ 与任意同级矩阵可交换，其必为数量矩阵。
• 一般 $(AB)^k\ne A^kB^k$，但当 $A$ 与 $B$ 可交换时，$(AB)^k=A^kB^k$，
• $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$，只有当 $A$ 与 $B$ 可交换时 $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$。

转置有如下性质：

• $(A+B)^T = A^T + B^T$
• $(cA)^T = cA^T$
• $(AB)^T = B^T A^T$

若 $A^T=A$，则称 $A$ 为对称矩阵；若 $A^T = -A$，则称 $A$ 为反对称矩阵。反对称矩阵的对角线一定是 $0$。

任意 $n$ 级矩阵都可以拆成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。（有点类似于任意函数均可以拆成一个奇函数与一个偶函数之和）证明如下：

令 $A = A_1+A_2$，其中 $A_1 = \displaystyle \frac{A + A^T}{2}$，$A_2=\displaystyle \frac{A-A^T}{2}$。显然 $A_1$ 为对称矩阵，$A_2$ 为反对称矩阵，证毕。这种拆分方式是唯一的。

特殊矩阵

对角阵。对角阵 $\operatorname{diag}\left\{ d_1, \cdots ,d_n \right\}$ 左（右）乘一个矩阵，相当于用主对角元乘相应的（列），即

$$\operatorname{diag}\left\{ d_1, \cdots ,d_n \right\}\begin{bmatrix} \gamma_1 \\ \gamma_2 \\ \vdots \\ \gamma_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d_1\gamma_1 \\ d_2\gamma_2 \\ \vdots \\ d_n\gamma_n \end{bmatrix}\\ (\alpha_1, \cdots ,\alpha_n)\operatorname{diag}\left\{ d_1, \cdots ,d_n \right\} = (d_1\alpha_1, \cdots ,d_n\alpha_n)$$

用上一节一开始提到的想法是非常好验证的。

三角矩阵。两个上三角阵的乘积仍为上三角阵，且主对角元为对应主对角元的乘积。下三角阵亦有类似结论。

基本矩阵。在 $M_{m,n}(K)$ 中，$(i,j)$ 元为 $1$，其余都为 $0$ 的矩阵，记作 $E_{ij}$。不难发现所有的 $E_{ij}$ 构成 $m\times n$ 矩阵空间的一组基底，$\operatorname{dim}M_{m\times n}(K) = mn$。

用 $E_{ij}$ 左乘一个矩阵 $A$，相当于将其第 $j$ 行挪到第 $i$ 行的位置，其余行都是 $0$（结合一开始的思路理解，乘积的行为右矩阵的行的线性组合）；用 $E_{ij}$ 右乘一个矩阵，相当于将其第 $i$ 列搬到第 $j$ 列的位置，其他列都是 $0$。思路是类似的。

初等矩阵，有三类，分别对应三种初等行/列变换：

1. 将 $k$ 倍的第 $i$ 行加到第 $j$ 行上（将 $k$ 倍的第 $j$ 列加到第 $i$ 行上），记作 $P(j,i(k)) = I + E_{ji}$。
2. 交换第 $i$ 与第 $j$ 行/列，记作 $P(i,j)$，例如 $P_4(2,3) = \begin{bmatrix} 1 & & & \\ & & 1 & \\ & 1 & & \\ & & & 1 \\\end{bmatrix}$，实际上是将单位矩阵进行初等变换的结果。
3. 将第 $i$ 行/列乘上 $c\ne 0$，记作 $P(i(c))$，比如 $P_3(2(k)) = \begin{bmatrix} 1 & & \\ & k & \\ & & 1 \\\end{bmatrix}$。

用初等矩阵左（右）乘一个矩阵，相当于对该矩阵做一次对应的行（列）变换。

值得一提的是通过考虑初等变换的逆变换可以轻松求出其逆矩阵：

1. $P(i,j(-k))P(i,j(k))=I$，故 $P(i,j(k))^{-1}=P(i,j(-k))$。
2. $P(i,j)P(i,j) = I$，故 $P(i,j)^{-1}=P(i,j)$；
3. $P(i(1 / c))P(i(c)) = I$，故 $P(i(c))^{-1}=P(i(1 / c))$；

所以一个矩阵总是可以写成 $PJ$ 的形式，其中 $P$ 为若干初等阵的乘积，$J$ 为简化阶梯型阵。这是很重要的结论，下一节会涉及。

Permutation Matrix。每一行每一列都恰有一个元素是 $1$，其余元素均为 $0$，则该方阵为置换矩阵。置换矩阵的乘积仍为置换矩阵（考虑置换矩阵做了什么事情）。左乘置换矩阵是对行做置换，右乘是对列做置换。

由于任何 $n$ 元排列经过至多 $n-1$ 次对换后总能得到标准排列，故 $n$ 阶置换矩阵总能写成至多 $n-1$ 个第二类初等矩阵 $P(i,j)$ 的乘积。