线代 A1 笔记 第 4 部分（向量空间 3）

子空间的基与维数

若线性空间 $V$ 中有一组向量 $\alpha_1, \cdots ,\alpha_n$ 满足条件

1. $\alpha_1, \cdots ,\alpha_n$ 线性无关；
2. $\alpha_1, \cdots ,\alpha_n$ 能表出 $V$ 中的每一个向量；

则称 $\alpha_1, \cdots ,\alpha_n$ 为 $V$ 的一组基，称 $V$ 为有限维（$n$ 维）线性空间。

注意到若存在另一组基 $\beta_1, \cdots ,\beta_s$，则 $\alpha_1, \cdots ,\alpha_n$ 与 $\beta_1, \cdots ,\beta_s$ 可以相互表出（等价），由其无关性知 $n=s$。

$V$ 的基是不唯一的，但每组基包含的向量个数是相等的，这个个数称作线性空间 $V$ 的维数，记作 $\operatorname{dim} V = n$。

$\varepsilon_1, \cdots ,\varepsilon_n$ 称作 $K^n$ 的一组标准基。零空间的维数规定为 $0$。

• 在有限维线性空间中，任何线性无关的向量组都能被扩充至空间的基（依次添加不能被表出的向量）。
• 设 $W$、$U$ 为线性空间 $V$ 的两个子空间，若 $W \subseteq U$，则 $\operatorname{dim} W\le \operatorname{dim} U$。
  证明：设 $\alpha_1, \cdots,\alpha_r$ 为 $U$ 的一组基，$\beta_1, \cdots ,\beta_s$ 为 $W$ 的一组基，既然 $W \subseteq U$ 则 $\alpha_1, \cdots ,\alpha_r$ 可以表出 $\beta_1, \cdots ,\beta_s$。于是 $r\ge s$，故 $\operatorname{dim} U\ge \operatorname{dim} W$。
• 设 $W$、$U$ 为线性空间 $V$ 的两个子空间，$W \subseteq U$，且 $\operatorname{dim}W=\operatorname{dim}U$，则 $U=V$。
  证明：证 $U \subseteq W$ 即可。取 $W$ 的一组基 $\alpha_1, \cdots ,\alpha_r$，则 $\forall \beta\in U$，有 $\alpha_1, \cdots ,\alpha_r,\beta\in U$。于是 $\operatorname{rank}\left\{ \alpha_1, \cdots ,\alpha_r,\beta \right\}\le \operatorname{dim} U = \operatorname{dim} W = r$，所以 $\alpha_1, \cdots ,\alpha_r,\beta$ 线性相关。所以 $\alpha_1, \cdots ,\alpha_r$ 可以表出 $\beta$，所以 $\beta\in W$，所以 $U \subseteq W$。
• 对向量组做初等变换，变换前后的向量组等价，生成的子空间不变，秩不变。

矩阵的秩

数域 $K$ 上 $s\times n$ 矩阵 $A$ 的列向量组 $\alpha_1, \cdots ,\alpha_n$ 生成的子空间称为 $A$ 的列空间，行向量组 $\gamma_1, \cdots ,\gamma_s$ 生成的子空间称为 $A$ 的行空间。列空间的维数称为列秩，行空间的维数称为行秩。

由于初等变换不改变向量组的生成子空间，所以矩阵 $A$ 和 $\operatorname{rref} (A)$ 的行秩和列秩都是相等的。下面说明对于 $\operatorname{rref}(A)$，其行秩等于列秩。

令 $s\times n$ 矩阵 $J = \operatorname{rref}(A)$ 有 $r$ 个非零行，显然 $r\le s$，那么 $J$ 形如

$$\begin{bmatrix} 0&\cdots&0&c_{1j_1}&\cdots&c_{1j_2}&\cdots& c_{1j_r}&\cdots&c_{1n}\\ 0&\cdots&0&0&\cdots&c_{2j_2}&\cdots&c_{2j_r}&\cdots& c_{2n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\ 0&\cdots&0&0&\cdots&0&\cdots &c_{rj_r}&\cdots&c_{rn}\\ 0&\cdots&0&0&\cdots&0&\cdots&0&\cdots&0\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\ 0&\cdots&0&0&\cdots&0&\cdots&0&\cdots&0 \end{bmatrix}$$

由于

$$\begin{vmatrix} c_{1j_1} & c_{1j_2} & \cdots & c_{1j_n} \\ 0 & c_{2j_2} & \cdots & c_{2j_n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & c_{nj_n} \\\end{vmatrix} = \prod_{i=1}^nc_{ij_i} \ne 0$$

因此对应的列向量组和行向量组都线性无关，延伸组线性无关，行秩和列秩都为 $r$。记矩阵的秩 $\operatorname{rank}(A) = r$。

推论：$\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^T)$。

接下来是很重要的定理：任一非零矩阵的秩等于其不为零的子式的最高阶数。

证明的话令 $\operatorname{rank}(A) = r$，取 $r$ 个线性无关的行，再在其中取 $r$ 个线性无关的列，交叉成的子式肯定不为 $0$。如果我取 $m>r$ 阶子式的话，行列式肯定是 $0$。

下面是两个常见的和矩阵秩相关的不等式：

• $A_{s\times n}$，$B_{l\times m}$，证明 $\operatorname{rank} \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \\\end{bmatrix} = \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)$。
  证明的话考虑进行初等行变换，把他变成 $\begin{bmatrix} J_1 & 0\\ 0 & 0\\ 0 & J_2\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} J_1 & 0\\ 0 & J_2\\ 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}$。
• $A_{s\times n}$，$B_{l\times m}$，$C_{s\times m}$，证明 $\operatorname{rank} \begin{bmatrix} A & C \\ 0 & B \\\end{bmatrix}\ge \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)$。
  考虑使用子式。令 $\operatorname{rank}(A) = r$，$\operatorname{rank}(B) = t$，所以存在 $A$ 的一个 $r$ 级非零子式 $|A_1|$，$B$ 的一个 $t$ 级非零子式 $|B_1|$。故 $\begin{bmatrix} A & C \\ 0 & B \\\end{bmatrix}$ 存在一个 $r+t$ 级子式 $\begin{vmatrix} A_1 & C_1 \\ 0 & b_1 \\\end{vmatrix}=|A_1||B_1|\ne 0$。得证。

然后是一个番外：主对角占优矩阵。

1. 考虑 $A_{n\times n} = (a_{ij})$，若 $\displaystyle |a_{ii}|> \sum_{j\ne i}|a_{ij}|$，则 $\det A\ne 0$。
   证明：我们只需证明列向量组 $\alpha_1, \cdots ,\alpha_n$ 线性无关。反证，假设其线性相关，则存在系数 $k_1, \cdots,k_n$ s. t. $\displaystyle \sum_{i=1}^nk_i\alpha_i = \boldsymbol{0}$。令 $k_l = \max\left\{ k_i \right\}$，考虑第 $l$ 个分量：$\displaystyle \sum_{i=1}^n k_ia_{li} = 0$，$a_{ll} = \displaystyle -\sum_{i\ne l}\frac{k_i}{k_l}a_{li}$，放缩：$|a_{ll}|\le \displaystyle \sum_{i\ne l}\left\vert \frac{k_i}{k_l}a_{li} \right\vert \le \sum_{i\ne l} |a_{li}|$，和题设矛盾，证毕。
2. 若 $a_{ii} > \displaystyle \sum_{j\ne i}|a_{ij}|$，证明 $\det A > 0$。
   这题较为难。需要结合连续函数的性质。令 $B(t) = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}t & \cdots & a_{1n}t \\ a_{21}t & a_{22} & \cdots & a_{2n}t \\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1}t & a_{n2}t & \cdots & a_{nn} \\\end{bmatrix}$，我们知道 $\det B(t)$ 为关于 $t$ 的多项式，其为 $[0,1]$ 上的连续函数。由 $1$ 的结论，$t\in(0,1)$ 时 $\det B(t)\ne 0$，又 $\det B(0) = \displaystyle \prod_{i=1}^na_{ii}>0$，由连续函数性质知 $\det A = \det B(1) > 0$，证毕。