线代 A1 笔记 第 3 部分（向量空间 2）

向量组的极大无关组与秩

• 极大无关组的定义：$K^n$ 中一个向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，若该部分组本身线性无关，但是从原向量组的其余向量中任选一个添进去，得到的新部分组都线性相关。
• 向量组等价的定义：若 $\alpha_1, \cdots ,\alpha_s$ 与 $\beta_1, \cdots ,\beta_r$ 可以互相线性表出，则称这两个向量组等价，记作

  $$\left\{ \alpha_1, \cdots ,\alpha_s \right\}\cong \left\{ \beta_1, \cdots \beta_r \right\}$$

  等价具有如下性质。证明略。
  1. Reflectivity：$\left\{ \alpha_1, \cdots ,\alpha_s \right\}\cong \left\{ \alpha_1, \cdots ,\alpha_s \right\}$
  2. Symmetry：$\left\{ \alpha_1, \cdots ,\alpha_s \right\}\cong \left\{ \beta_1, \cdots \beta_r \right\}\iff \left\{ \beta_1, \cdots \beta_r \right\}\cong\left\{ \alpha_1, \cdots ,\alpha_s \right\}$
  3. Transitivity：$\left\{ \alpha_1, \cdots ,\alpha_s \right\}\cong \left\{ \beta_1, \cdots ,\beta_r \right\}\land \left\{ \beta_1, \cdots ,\beta_r \right\} \cong \left\{ \gamma_1, \cdots,\gamma_t \right\}\implies \left\{ \alpha_1, \cdots ,\alpha_s \right\}\cong \left\{ \gamma_1, \cdots,\gamma_t \right\}$

接下来是推论。

1. 向量组与其极大无关组等价
   证明：极大无关组显然可以由原向量组表出。
   考虑极大无关组如何表出原向量组。注意到由定义，添加任意不在极大无关组内的向量都使得其变得线性相关，由上一节的推论 $12$，我们知道这个向量是可以被极大无关组表出的。所以原向量组可以由极大无关组表出。

2. 向量组的任意两个极大无关组等价
   由推论 $1$ 和等价的对称性、传递性。

3. 若 $\langle \alpha_1, \cdots ,\alpha_s \rangle \supseteq \langle \beta_1, \cdots ,\beta_r \rangle$ 且 $r> s$，则 $\beta_1, \cdots ,\beta_r$ 一定线性相关。即少的表出多的，多的一定线性相关。
   证明：要证明线性相关就考虑找到不全为零的组合系数。考虑一线性组合 $\displaystyle \sum_{i=1}^r x_i \beta_i$。由 $\beta_i$ 可以被 $\alpha_1, \cdots ,\alpha_s$ 表出，不妨设 $\beta_i = \displaystyle \sum_{j=1}^s a_{ji}\alpha_j$，于是

   $$\sum_{i=1}^r x_i\beta_i = \sum_{i=1}^rx_i\sum_{j=1}^s a_{ji}\alpha_j = \sum_{i=1}^s \sum_{j=1}^r a_{ij}x_j \alpha_i$$

   考虑齐次线性方程组 $\displaystyle \sum_{j=1}^r a_{ij}x_j = 0 ~(i=1, 2,\cdots ,s)$，由于 $s<r$，其一定有非零解，取一组非零解 $(k_1, \cdots ,k_r)^T$，则 $\displaystyle \sum_{i=1}^r k_i\beta_i = \sum_{i=1}^s 0\alpha_i=\boldsymbol{0}$。所以 $\beta_1, \cdots ,\beta_r$ 线性相关。

4. 若 $\langle \alpha_1, \cdots ,\alpha_s \rangle \supseteq \langle \beta_1, \cdots ,\beta_r \rangle$ 且 $\beta_1, \cdots ,\beta_r$ 线性无关，则 $r\le s$。

5. 等价的线性无关的向量组所含向量的数目相等。

6. 向量组的任意两个极大无关组所含向量数目相等。
   $3\to 4\to 5\to 6$ 是一套连招。

• 向量组的秩的定义：向量组的极大无关组所含向量的数目称为该向量组的秩。
  秩这个东西就高度抽象地概括了一个向量组的行为。

7. $\alpha_1, \cdots ,\alpha_s$ 线性无关的充要条件是 $\operatorname{rank}\left\{ \alpha_1, \cdots ,\alpha_s \right\}=s$。
   证明：$\alpha_1, \cdots ,\alpha_s$ 线性无关 $\iff \alpha_1, \cdots ,\alpha_s$ 的极大无关组是自身 $\iff \operatorname{rank}\left\{ \alpha_1, \cdots ,\alpha_s\right\} = s$。

8. 若向量组 I 可以表出向量组 II，则组 I 的秩 $\ge$ 组 II 的秩。
   证明：各取极大无关组 $\alpha_1, \cdots ,\alpha_s$ 和 $\beta_1, \cdots ,\beta_r$，则组 I 的秩等于 $s$，组 II 的秩等于 $r$。
   $\alpha_1, \cdots ,\alpha_s$ 可以表出 I，而 I 可以表出 $\beta_1, \cdots ,\beta_r$，所以 $s\ge t$。

9. 等价的向量组具有相同的秩。

总结一下可以得到一条非常关键的性质：

若向量组 $\alpha_1, \cdots ,\alpha_s$ 的一个部分组满足以下三个条件中的任意两个，则第三个也成立：

1. 线性无关
2. 可以表出原向量组
3. 向量个数等于原向量组的秩

且该部分组为原向量组的一个极大无关组。

练习一下写证明吧：

1、2 推 3。设这个部分组为 $\alpha_{i_1}, \cdots ,\alpha_{i_r}$，则由其可以表出原向量组，知不在其中的一个向量可以被其表出，且添加进去后变得线性相关，这符合极大无关组的定义，3 自然成立。

1、3 推 2。其自己就是个满秩的向量组（其线性无关），且向量个数等于原向量组的秩，所以我们如果再添加一个不在他里面向量进去，其必然变得线性相关。根据极大无关组的定义立得。

2、3 推 1。由其可以表出原向量组，其可以表出原向量组的一个极大无关组，其亦可以被原向量组的一个极大无关组表出。所以其满秩，所以其线性无关，所以其也是原向量组的一个极大无关组。

如何求一组向量的极大无关组？

假设我们要求 $\alpha_1, \cdots ,\alpha_n$ 的极大无关组，求出矩阵 $A= \begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n \\\end{bmatrix}$ 的行简化阶梯型 $J$。我们知道 $J$ 的主元列向量构成 $J$ 的列极大无关组。

对矩阵 $A=\begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n \\\end{bmatrix}$ 做初等行变换得到 $B=\begin{bmatrix} \beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_n \\\end{bmatrix}$。若 $A$ 的列向量满足线性关系 $\displaystyle \sum_{i=1}^nk_i\alpha_i = \boldsymbol{0}$，则 $B$ 的列向量也满足相同关系 $\displaystyle \sum_{i=1}^nk_i\beta_i = \boldsymbol{0}$。证明：初等行变换是等解变换。

所以若我们知道 $\beta_{i_1}, \cdots ,\beta_{i_r}$ 是 $B$ 的列极大无关组，则 $\alpha_{i_1}, \cdots ,\alpha_{i_r}$ 也是 $A$ 的列极大无关组。

例如 $A=\begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 & 2 & -1 \\ 4 & -1 & 9 & 3 & 4 \\ 3 & -2 & 8 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 4 & 4 \\ 3 & 1 & 5 & 8 & 6 \\\end{bmatrix}$，$\operatorname{rref} (A) = \begin{bmatrix} 1 & & 2 & & 3 \\ & 1 & -1 & & 5 \\ & & & 1 & -1 \\ & & & & \\ & & & & \\\end{bmatrix}$，所以原来的极大无关组就是 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$，且 $\alpha_3 = 2\alpha_1 - \alpha_2$，$\alpha_5 = 3\alpha_1 + 5\alpha_2 - \alpha_4$。特别地，我们有满秩分解：

$$\begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 & 2 & -1 \\ 4 & -1 & 9 & 3 & 4 \\ 3 & -2 & 8 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 4 & 4 \\ 3 & 1 & 5 & 8 & 6 \\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 2\\ 4 & -1 & 3\\ 3 & -2 & -2\\1 & 1 & 4\\3&1&8\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & & 2 & & 3 \\ & 1 & -1 & & 5 \\ & & & 1 & -1 \\ & & & & \\ & & & & \\\end{bmatrix}$$