线代 A1 笔记 第 2 部分（向量空间 1）

向量空间的基本定义

数域 $K$ 上全体 $n$ 维向量构成的集合，连同加法、数乘运算，构成 $n$ 维向量空间，记作 $K^n$。

设 $V$ 为非空集合，$K$ 为数域，若 $V$ 上有加法和数乘运算且满足如下八条公理，则称 $V$ 为 $K$ 上的线性空间。

1. 加法交换律：$\alpha+\beta=\beta+\alpha$；
2. 加法结合律：$\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma$；
3. 存在加法零元：$\boldsymbol{0}+\alpha=\alpha+\boldsymbol{0}=\alpha$；
4. 存在加法逆元（负元）：$\alpha+(-\alpha)=(-\alpha)+\alpha=\boldsymbol{0}$。

这四条公理保证了 $(V,+)$ 构成交换群。

$\forall k,l\in K$，$\forall \alpha,\beta \in V$，有

5. 数乘运算的单位性：$1\alpha=\alpha$；
6. 结合律：$k(l\alpha)=(kl)\alpha$；
7. 左分配律：$(k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha$；
8. 右分配律：$k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta$。

由以上公理不难推出下列推论：

1. 零元唯一性：$\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}+\boldsymbol{0}'=\boldsymbol{0}'$；
2. 负元唯一性：$\beta=\beta+\alpha+\beta'=\beta'$；
3. $\forall \alpha \in V$ 有 $0\alpha=\boldsymbol{0}$；
4. $k \in K$ 有 $k \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0}$。
   证明：

   $$\begin{aligned} k \boldsymbol{0}&= \boldsymbol{0} + k \boldsymbol{0}&\text{axiom 3} \\ &= ((-k \boldsymbol{0}) + k\boldsymbol{0}) + k \boldsymbol{0} & \text{axiom 4}\\ &= (-k \boldsymbol{0}) + k \boldsymbol{0} + k \boldsymbol{0} &\text{axiom 2}\\ &= (-k \boldsymbol{0}) + k (\boldsymbol{0} + \boldsymbol{0})&\text{axiom 8}\\ &= (-k \boldsymbol{0}) + k \boldsymbol{0} & \text{axiom 3}\\ &= \boldsymbol{0}&\text{axiom 4} \end{aligned}$$

5. 无挠性：$k\alpha=\boldsymbol{0}\implies k=0 \lor \alpha=\boldsymbol{0}$
   证明：若 $k\ne 0$，则

   $$\begin{aligned} \alpha &= 1\alpha & \text{axiom 5}\\ &= (k^{-1}k)\alpha & \text{property of number field } K \\ &= k^{-1} (k\alpha) & \text{axiom 6}\\ &= k^{-1}\boldsymbol{0}&\text{given in prob statement}\\ &= \boldsymbol{0} & \text{inference 4} \end{aligned}$$

   若 $k=0$，则根据推论 $3$，成立。

若 $V$ 的非空子集 $W$ 满足

1. 对加法封闭：$\alpha,\beta \in W \implies \alpha + \beta \in W$；
2. 对数乘封闭：$\alpha \in W, k\in K\implies k\alpha \in W$。

则 $W$ 为 $V$ 的线性子空间。

回到 $K^n$ 中，给定向量组 $\alpha_1 \cdots \alpha_s$，任意给出一组数 $k_1\cdots k_s \in K$，将 $\displaystyle \sum_{i=1}^s k_i \alpha_i$ 称为该向量组的一个线性组合。对于 $\beta\in K^n$，若存在 $K$ 中的一组数 $c_1, \cdots,c_s$ s.t. $\beta=\displaystyle \sum_{i=1}^s c_i\alpha_i$，则称 $\beta$ 可由 $\alpha_1, \ldots ,\alpha_s$ 线性表出。这启发我们，线性方程组有解 $\iff \beta$ 可以由列向量组线性表出。

注意到，$\alpha_1, \cdots ,\alpha_s$ 的所有线性组合构成的集合 $W$ 是 $K^n$ 的一个子空间（加法封闭性和数乘封闭性均不难验证），称其为向量组生成的子空间，记作 $\langle \alpha_1, \cdots \alpha_s \rangle$。

这给出了很重要的信息：

线性方程组 $\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i\alpha_i = \beta$ 有解 $\iff \beta$ 可由 $\alpha_1, \cdots \alpha_s$ 线性表出 $\iff$ $\beta \in \langle \alpha_1, \cdots ,\alpha_s \rangle$。

有无解被归结到判断 $\beta$ 是否在生成子空间内，这是很重要的观点。

子空间的包含关系可以导出线性表出的传递性：

若 $\alpha_1, \cdots ,\alpha_r$ 可以表出 $\beta_1, \cdots ,\beta_r$，且 $\beta_1, \cdots \beta_r$ 可以表出 $\gamma_1, \cdots ,\gamma_t$，则 $\alpha_1, \cdots ,\alpha_r$ 可以直接表出 $\gamma_1, \cdots ,\gamma_t$。

理解就是 $\langle \alpha_1, \cdots ,\alpha_r \rangle \supseteq \langle \beta_1, \cdots ,\beta_s \rangle \supseteq \langle \gamma_1, \cdots ,\gamma_t \rangle \implies\langle \alpha_1, \cdots ,\alpha_r \rangle \supseteq \langle \gamma_1, \cdots ,\gamma_t \rangle$。

线性相关与线性无关

线性相关就是可以被一组不全为零的系数表出，线性无关就是不线性相关。

推论：

1. 包含 $\boldsymbol{0}$ 的向量组一定线性相关。令 $\boldsymbol{0}$ 前面的系数不为 $0$。
2. $\alpha$ 线性相关 $\iff \exists k\ne 0$ s.t. $k\alpha =\boldsymbol{0} \iff \alpha = \boldsymbol{0}$。即 $\alpha$ 线性无关 $\iff \alpha\ne \boldsymbol{0}$。
3. $\alpha_1, \cdots,\alpha_s~(s\ge 2)$ 线性相关 $\iff$ 至少有一个向量可以由其余向量线性表出。
   证明：必要性。由定义，若其线性相关，则 $\exists $ 不全为零的 $k_1, \cdots ,k_s \in K$ s. t. $\displaystyle \sum_{i=1}^s k_i\alpha_i = \boldsymbol{0}$，设 $k_i\ne 0$，则 $\alpha_i = \displaystyle -\sum_{j=1,j\ne i}^n \frac{k_j}{k_i}\alpha_j$。
   充分性：设其中一个向量 $\alpha_i$ 可以被其余的表出，则 $\alpha_i = \displaystyle \sum_{j=1,j\ne i}^n l_j\alpha_j$，移项：$\displaystyle \sum_{j=1,j\ne i}^n l_j\alpha_j + (-1)\alpha_i = \boldsymbol{0}$，$-1\ne 0$，故 $\alpha_1, \cdots,\alpha_s$ 线性相关。
4. 由 $3$ 可以知道，$\alpha_1, \cdots,\alpha_s~(s\ge 2)$ 线性无关 $\iff$ 每一个向量都不能被剩下的表出。

从齐次线性方程组的角度出发，也可以得到很好的推论：

5. 线性无关等价于齐次线性方程组有唯一解——零解。即列向量的表出系数均为 $0$。而线性相关便等价于其有非零解。根据齐次线性方程组解的性质，线性相关的向量组，使其表出 $\boldsymbol{0}$ 的系数是有任意组的。

由元数多于方程数的齐次线性方程组一定有非零解的性质可以推出

6. 向量个数 > 向量分量个数时，向量组线性相关。

从行列式的角度出发

7. $n$ 个 $n$ 维列向量 $\alpha_1, \cdots ,\alpha_n$ 线性相关 $\iff \left\vert \alpha_1\cdots \alpha_n \right\vert =0$。线性无关则等价于行列式不为 $0$。

关于延伸组与缩短组。令 $\alpha_1, \cdots,\alpha_s \in K^n$，为每个向量添加上 $t$ 个分量得到 $\tilde{\alpha_1}, \cdots ,\tilde{\alpha_s}\in K^{n+t}$，则称后者为前者的延伸组，前者为后者的缩短组。

8. 向量组线性无关 $\implies$ 其延伸组线性无关。
   证明：$\alpha_1, \cdots,\alpha_s$ 线性无关即齐次线性方程组 $\displaystyle \sum_{i=1}^s x_i\alpha_i = \boldsymbol{0}$ 只有零解，可以推导出 $\displaystyle \sum_{i=1}^s x_i \tilde{\alpha_i} = \boldsymbol{0}$ 也只有零解（若其有非零解则上一个方程组也有非零解），故 $\tilde{\alpha_1}, \cdots ,\tilde{\alpha_s}$ 线性无关。
9. 向量组线性相关 $\implies$ 其缩短组线性相关。
   不证了，过于显然，表出系数照抄即可。

此外，我们还知道如下比较显然的性质（不证）：

10. 向量组线性无关 $\implies$ 任意部分组线性无关
11. 存在部分组线性相关 $\implies$ 向量组线性相关

接下来是一个很重要的引理：

12. 设 $\alpha_1, \cdots ,\alpha_s$ 线性无关，则 $\alpha_1, \cdots ,\alpha_s$ 可以线性表出 $\beta \iff \alpha_1, \cdots ,\alpha_s,\beta$ 线性相关。

    证明：必要性是显然的，考虑充分性。设 $\alpha_1, \cdots ,\alpha_s,\beta$ 线性相关，则 $\exists $ 不全为零的 $k_1, \cdots ,k_s,l$ s. t. $\displaystyle \sum_{i=1}^s k_i\alpha_i + l\beta = \boldsymbol{0}$，假设 $l=0$，则 $k_1, \cdots ,k_s$ 不全为零，这与 $\alpha_1, \cdots ,\alpha_s$ 线性无关矛盾。所以 $l\ne 0$，$\beta = \displaystyle -\sum_{i=1}^s \frac{k_i}{l}\alpha_i$。