线代 A1 笔记 第 14 部分（等价关系、矩阵的相抵与广义逆）

等价关系

集合 $S$ 上的一个二元关系 $\sim$ 若具有下述性质：$\forall a,b,c\in S$，有

1. 反身性：$a \sim a$；
2. 对称性：$a\sim b\implies b\sim a$；
3. 传递性：$a\sim b\land b\sim c\implies a\sim c$。

称 $\sim$ 为 $S$ 上的一个等价关系。对于 $a\in S$，称 $\overline{a} = \left\{ x\in S\mid x\sim a \right\}$ 为 $a$ 确定的等价类。

取 $a,b \in S$，要么 $\overline{a}=\overline{b}$，要么 $\overline{a}\cap \overline{b} = \varnothing$。

等价关系可以将集合 $S$ 划分成若干个等价类，记作 $\pi_{\sim}(S)$。

相抵

若经过一系列初等行/列变换，$A$ 能够变成 $B$，则称 $A$ 与 $B$ 相抵，即存在可逆矩阵 $P,Q$ s. t. $PAQ=B$。相抵关系为 $M_{m\times n}(K)$ 上的等价关系。

若 $\operatorname{rank}(A_{m\times n})=r$，则 $A$ 与 $\begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \\\end{bmatrix}_{m\times n}$ 相抵。右者称为 $A$ 的相抵标准型。

相抵的矩阵有相同的秩，所以 $M_{m\times n}(K)$ 被划分成了 $1+\min\left\{ m,n \right\}$ 个等价类。

广义逆

对于可逆阵 $A$，有 $AA^{-1}A = A$。对于不可逆的，我们尝试找到替代物 $X$ 使得 $AXA=A$。

这个方程是一定有解的。设 $A$ 为 $s\times n$ 矩阵。如果 $\operatorname{rank}(A)=r$，且 $A=P \begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \\\end{bmatrix}Q$，则 $X = Q^{-1}\begin{bmatrix} I_r & B_{r\times (s-r)} \\ C_{(n-r)\times r} & D_{(n-r)\times (s-r)} \\\end{bmatrix}P^{-1}$。$B,C,D$ 是任取的。

证明：设 $G$ 为一个解，则

$$P\begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \\\end{bmatrix}QGP \begin{bmatrix} I_r & 0 \\0 & 0 \\\end{bmatrix}Q = P\begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \\\end{bmatrix}Q$$

左乘 $P^{-1}$，右乘 $Q ^{-1}$，则

$$\begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \\\end{bmatrix}QGP \begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \\\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \\\end{bmatrix}$$

将 $QGP$ 写成分块矩阵的形式，即 $QGP = \begin{bmatrix} H_{r\times r} & B_{r\times (s-r)} \\ C_{(n-r)\times r} & D_{(n-r)\times (s-r)} \\\end{bmatrix}$，我们有

$$\begin{aligned} \begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \\\end{bmatrix} \begin{bmatrix} H & B \\ C & D \\\end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \\\end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \\\end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} H & 0 \\ 0 & 0 \\\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \\\end{bmatrix} \end{aligned}$$

所以 $H = I_r$。验证 $B,C,D$ 任意取也是成立的并不难。

这样的解 $X$ 称为 $A$ 的一个广义逆矩阵，即为 $A^-$。

所以其实广义逆是很多的。但是如果 $A \in M_{s\times n}(\mathbb{C})$，则下列方程组

$$\begin{cases} AXA=A \\ XAX=X\\ \overline{(AX)^T} = AX\\ (\overline{XA})^T = XA \end{cases}$$

称为 $A$ 的 Penrose 方程组，其解称为 $A$ 的 Moore-Penrose 广义逆，记作 $A^+$。前面提到过，这就是一个最好的逆。

• 若 $A$ 列满秩，则 $A^+ = (A^TA)^{-1}A^T$；
• 若 $A$ 行满秩，则 $A^+ = A^T(AA^T)^{-1}$；
• 若 $A$ 可以分解为 $A=BC$，$B$ 列满秩，$C$ 行满秩，则 $A^+ = C^+B^+$。