线代 A1 笔记 第 1 部分（C1-C2）

线性方程组的解的判据

定理：$n$ 元线性方程组的解有三种情况：无解/唯一解/无穷组解。当其增广矩阵初等行变换成阶梯矩阵后，若出现 $0=d$ 形，则无解。令非零行数目为 $r$，若 $r<n$ 则无穷组解，若 $r=n$ 则唯一解，不可能出现 $r>n$ 的情况。

齐次线性方程组一定有零解。有非零解则一定是无穷组。判据则为当增广矩阵化为阶梯型后，判断非零行数量。

行列式部分

Cramer 法则与行列式几何意义的一些直观解释；

代数余子式的正交性

考虑按照某一行展开：

$$\begin{vmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n 2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}=A_{11}x_1+A_{12}x_2+ \cdots +A_{1n}x_n$$

其为关于某一行的线性函数。如果代入剩下的行，不难发现值是 $0$。用其理解叉积是很自然的：令 $\alpha=(a_1,a_2,a_3)$，$\beta=(b_1,b_2,b_3)$，则

$$\alpha \times \beta = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_{3} \\ b_1 & b_2 & b_3 \\\end{vmatrix}$$

Cramer 法则

$n$ 个方程的 $n$ 元线性方程组有唯一解 $\iff$ 其系数行列式 $\det A\ne 0$。

相应地，$n$ 个方程的 $n$ 元齐次线性方程组只有零解 $\iff \det A\ne 0$；有非零解 $\iff \det A = 0$。

Cramer 法则给出了解的形式：

$$x_i = \frac{\det B_i}{\det A}$$

其中 $B_i$ 是将 $A$ 的第 $i$ 列替换为 $\beta$。

证明：将这组解代入任意一个方程，比如说第 $i$ 个：

$$a_{i1} \frac{\det B_1}{\det A} + a_{i2}\frac{\det B_2}{\det A} + \cdots + a_{in}\frac{\det B_n}{\det A}= \frac{1}{\det A}\sum_{j=1}^na_{ij}\det B_j$$

将 $\det B_j$ 展开：$\det B_j = \displaystyle \sum_{k=1}^n b_kA_{kj}$，带回去：

$$\begin{aligned} \sum_{j=1}^na_{ij}\det B_j &= \sum_{j=1}^na_{ij}\sum_{k=1}^nb_kA_{kj} \\ &= \sum_{k=1}^n b_k\sum_{j=1}^na_{ij}A_{kj}\\ &= b_i \det A \end{aligned}$$

所以回代回去，就变成 $b_i$ 了，LHS = RHS，证毕。最后一行利用的就是代数余子式的正交性，只有当 $k=i$ 的时候右边的式子是不为 $0$ 的。