线代 A1 笔记 第 0 部分——3b1b 的一些迷思

考虑二维的线性变换，则我们只需要知道一组基底 $\hat{i}$ 和 $\hat{j}$ 变换后的坐标，所以其实左乘的矩阵就是 $\begin{bmatrix} \hat{i}' & \hat{j}' \end{bmatrix}$，左乘上 $\begin{bmatrix} a \\ b\\\end{bmatrix}$ 得到的结果就是 $a \hat{i}' + b \hat{j}'$，用坐标的意义去理解：$(a,b)$ 就是所谓坐标，而 $\hat{i}'$ 和 $\hat{j}'$ 就是变换后的标准基坐标。

分析矩阵乘法 $\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \\\end{bmatrix} \begin{bmatrix} e & g \\ f & h \\\end{bmatrix}$ 的时候，时刻考虑 $\hat{i}$ 和 $\hat{j}$ 的动向。例如 $\hat{i}$ 经过右矩阵变换成 $\begin{bmatrix} e \\ f \\\end{bmatrix}$，再然后经过左矩阵，变成 $a\begin{bmatrix} e \\ f \\\end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} e \\ f \\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae+be \\ af+bf \\\end{bmatrix}$。不要忘记其意义是相继的变换复合，这样理解使得矩阵乘法的结合律变得平凡。

如上关于线性变换的理解可以很自然地推广到高维情形。行列式可以理解为广义体积在经过线性变换后的缩放倍率。如果左乘的矩阵不满秩，则空间会被压缩到更低维，行列式自然为 $0$。其逆变换自然也就是不存在了（因为不存在从一对多的映射）。

对于 $3\times 2$ 矩阵，其含义为将二维空间内的向量映射到三维空间内，第一列和第二列分别对应变换后的 $\hat{i}$ 和 $\hat{j}$。对于 $2\times 3$ 矩阵是类似的，但是是 3D$\to$2D 的。

点乘、投影、$1\times 2$ 矩阵的联系。很巧妙，将 $v$ “投影”的过程是线性变换，如何描述之？考虑 $\hat{i}$ 和 $\hat{j}$ 的变换，用对称轴的思路，其就是 $\begin{bmatrix} u_x & v_x \\\end{bmatrix}$。对偶，很漂亮。